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Simplicité

Petersbourg

Les chiffres peuvent induire des raisonnements faux : l’histoire de la tortue et d’Achille en est un exemple bien connu, mais on peut aussi citer le paradoxe de St Petersbourg. Il propose une partie de pile ou face un peu spécial :

Un joueur met 1 euro sur la table et on tire à pile ou face, avec une autre pièce. Si c'est pile, la partie s'arrête et le joueur perd sa mise, et le banquier empoche l'euro qui est sur la table. Si c'est face, ce dernier rajoute le double de la mise initiale soit 2 euros de plus placés sur la table. Il y a donc alors 3 euros sur la table.

On tire à nouveau à pile ou face. Si c'est pile, le joueur perd tout et le banquier encaisse les 3 euros, mais si c'est face, il double encore la mise et met 4 euros de plus sur la table, ce qui fait 7 euros en tout.

Le banquier continue de doubler la mise chaque fois que face sort et on continue donc jusqu’à ce que la partie s’arrête dès que pile sort.

Si l’on demande à un ordinateur de nous indiquer quel montant x il faut miser pour maximiser notre gain, il va se livrer à un calcul de probabilité pour déterminer à partir de quel moment la probabilité de perdre devient supérieure à la croissance du gain. La conclusion est qu’il faut parier sans jamais s’arrêter, car l'espérance de gain est infinie.

En effet, au premier tour on à 1 chance sur 2 de gagner 2 soit 1*2/2 soit 1. Au deuxième tour, la probabilité de sortir de nouveau face n’est plus que de 1/2*2, mais l’espérance de gain est passée de 2 à 4 : l’espérance de gain est alors de 4/2*2 soit encore 1. Au suivant on aura 4*2/2*2*2 : l’espérance se maintien à 1. Et ainsi de suite … L’espérance de gain est donc de 1+1+1+1+..., soit l'infini. Un ordinateur acceptera donc de miser toute somme qu’on lui proposera et continuera de parier … jusqu’à ce que le bon sens constate qu’il perdra sa mise initiale.

Et il aura eu tort, car le calcul ne se justifie que sur un nombre infini de parties. Ainsi, on n'a par exemple qu'une chance sur 1024 que face sorte 10 fois de suite, auquel cas on gagnerait d'ailleurs 1024 euros. L’erreur de raisonnement n’était pas évidente et la démonstration quantitative imparable.

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